Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение – средняя
общеобразовательная школа №10 с углубленным изучением
отдельных предметов
(МАОУ СОШ №10 с углубленным изучением отдельных предметов)
УТВЕРЖДЕНА
Директор
________________________
Кузнецов А.В.
Приказ № 142 от 01.09.2025
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
(ID 8222830)
учебного предмета «Алгебра и начала математического анализа.
Углубленный уровень»
для обучающихся 10-11 классов
Екатеринбург 2025
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Учебный курс «Алгебра и начала математического анализа» является
одним из наиболее значимых в программе среднего общего образования,
поскольку, с одной стороны, он обеспечивает инструментальную базу для
изучения всех естественно-научных курсов, а с другой стороны, формирует
логическое и абстрактное мышление обучающихся на уровне, необходимом
для освоения информатики, обществознания, истории, словесности и других
дисциплин. В рамках данного учебного курса обучающиеся овладевают
универсальным языком современной науки, которая формулирует свои
достижения в математической форме.
Учебный курс алгебры и начал математического анализа закладывает
основу для успешного овладения законами физики, химии, биологии,
понимания основных тенденций развития экономики и общественной жизни,
позволяет ориентироваться в современных цифровых и компьютерных
технологиях, уверенно использовать их для дальнейшего образования и в
повседневной жизни. В то же время овладение абстрактными и логически
строгими конструкциями алгебры и математического анализа развивает
умение находить закономерности, обосновывать истинность, доказывать
утверждения с помощью индукции и рассуждать дедуктивно, использовать
обобщение и конкретизацию, абстрагирование и аналогию, формирует
креативное и критическое мышление.
В ходе изучения учебного курса «Алгебра и начала математического
анализа» обучающиеся получают новый опыт решения прикладных задач,
самостоятельного построения математических моделей реальных ситуаций,
интерпретации
полученных
решений,
знакомятся
с
примерами
математических закономерностей в природе, науке и искусстве, с
выдающимися математическими открытиями и их авторами.
Учебный курс обладает значительным воспитательным потенциалом,
который реализуется как через учебный материал, способствующий
формированию научного мировоззрения, так и через специфику учебной
деятельности, требующей продолжительной концентрации внимания,
самостоятельности, аккуратности и ответственности за полученный результат.
В основе методики обучения алгебре и началам математического анализа
лежит деятельностный принцип обучения.
В структуре учебного курса «Алгебра и начала математического анализа»
выделены следующие содержательно-методические линии: «Числа и
вычисления», «Функции и графики», «Уравнения и неравенства», «Начала
3
математического анализа», «Множества и логика». Все основные
содержательно-методические линии изучаются на протяжении двух лет
обучения на уровне среднего общего образования, естественно дополняя друг
друга и постепенно насыщаясь новыми темами и разделами. Данный учебный
курс является интегративным, поскольку объединяет в себе содержание
нескольких математических дисциплин, таких как алгебра, тригонометрия,
математический анализ, теория множеств, математическая логика и другие. По
мере того как обучающиеся овладевают всё более широким математическим
аппаратом, у них последовательно формируется и совершенствуется умение
строить математическую модель реальной ситуации, применять знания,
полученные при изучении учебного курса, для решения самостоятельно
сформулированной математической задачи, а затем интерпретировать свой
ответ.
Содержательно-методическая линия «Числа и вычисления» завершает
формирование навыков использования действительных чисел, которое было
начато на уровне основного общего образования. На уровне среднего общего
образования особое внимание уделяется формированию навыков
рациональных вычислений, включающих в себя использование различных
форм записи числа, умение делать прикидку, выполнять приближённые
вычисления, оценивать числовые выражения, работать с математическими
константами. Знакомые обучающимся множества натуральных, целых,
рациональных и действительных чисел дополняются множеством
комплексных чисел. В каждом из этих множеств рассматриваются
свойственные ему специфические задачи и операции: деление нацело,
оперирование остатками на множестве целых чисел, особые свойства
рациональных и иррациональных чисел, арифметические операции, а также
извлечение корня натуральной степени на множестве комплексных чисел.
Благодаря последовательному расширению круга используемых чисел и
знакомству с возможностями их применения для решения различных задач
формируется представление о единстве математики как науки и её роли в
построении моделей реального мира, широко используются обобщение и
конкретизация.
Линия «Уравнения и неравенства» реализуется на протяжении всего
обучения на уровне среднего общего образования, поскольку в каждом
разделе Программы предусмотрено решение соответствующих задач. В
результате обучающиеся овладевают различными методами решения
рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и
4
тригонометрических уравнений, неравенств и систем, а также задач,
содержащих параметры. Полученные умения широко используются при
исследовании функций с помощью производной, при решении прикладных
задач и задач на нахождение наибольших и наименьших значений функции.
Данная содержательная линия включает в себя также формирование умений
выполнять расчёты по формулам, преобразования рациональных,
иррациональных и тригонометрических выражений, а также выражений,
содержащих степени и логарифмы. Благодаря изучению алгебраического
материала происходит дальнейшее развитие алгоритмического и абстрактного
мышления обучающихся, формируются навыки дедуктивных рассуждений,
работы с символьными формами, представления закономерностей и
зависимостей в виде равенств и неравенств. Алгебра предлагает эффективные
инструменты для решения практических и естественно-научных задач,
наглядно демонстрирует свои возможности как языка науки.
Содержательно-методическая линия «Функции и графики» тесно
переплетается с другими линиями учебного курса, поскольку в каком-то
смысле задаёт последовательность изучения материала. Изучение степенной,
показательной, логарифмической и тригонометрических функций, их свойств
и графиков, использование функций для решения задач из других учебных
предметов и реальной жизни тесно связано как с математическим анализом,
так и с решением уравнений и неравенств. При этом большое внимание
уделяется формированию умения выражать формулами зависимости между
различными величинами, исследовать полученные функции, строить их
графики. Материал этой содержательной линии нацелен на развитие умений и
навыков, позволяющих выражать зависимости между величинами в различной
форме: аналитической, графической и словесной. Его изучение способствует
развитию алгоритмического мышления, способности к обобщению и
конкретизации, использованию аналогий.
Содержательная линия «Начала математического анализа» позволяет
существенно расширить круг как математических, так и прикладных задач,
доступных обучающимся, так как у них появляется возможность строить
графики сложных функций, определять их наибольшие и наименьшие
значения, вычислять площади фигур и объёмы тел, находить скорости и
ускорения процессов. Данная содержательная линия открывает новые
возможности построения математических моделей реальных ситуаций,
позволяет находить наилучшее решение в прикладных, в том числе социальноэкономических, задачах. Знакомство с основами математического анализа
5
способствует развитию абстрактного, формально-логического и креативного
мышления, формированию умений распознавать проявления законов
математики в науке, технике и искусстве. Обучающиеся узнают о выдающихся
результатах, полученных в ходе развития математики как науки, и об их
авторах.
Содержательно-методическая линия «Множества и логика» включает в
себя элементы теории множеств и математической логики. Теоретикомножественные представления пронизывают весь курс школьной математики
и предлагают наиболее универсальный язык, объединяющий все разделы
математики и её приложений, они связывают разные математические
дисциплины и их приложения в единое целое. Поэтому важно дать
возможность обучающемуся понимать теоретико-множественный язык
современной математики и использовать его для выражения своих мыслей.
Другим важным признаком математики как науки следует признать
свойственную ей строгость обоснований и следование определённым
правилам
построения
доказательств.
Знакомство
с
элементами
математической логики способствует развитию логического мышления
обучающихся, позволяет им строить свои рассуждения на основе логических
правил, формирует навыки критического мышления.
В учебном курсе «Алгебра и начала математического анализа»
присутствуют основы математического моделирования, которые призваны
способствовать формированию навыков построения моделей реальных
ситуаций, исследования этих моделей с помощью аппарата алгебры и
математического анализа, интерпретации полученных результатов. Такие
задания вплетены в каждый из разделов программы, поскольку весь материал
учебного курса широко используется для решения прикладных задач. При
решении реальных практических задач обучающиеся развивают
наблюдательность, умение находить закономерности, абстрагироваться,
использовать аналогию, обобщать и конкретизировать проблему.
Деятельность по формированию навыков решения прикладных задач
организуется в процессе изучения всех тем учебного курса «Алгебра и начала
математического анализа».
На изучение учебного курса «Алгебра и начала математического
анализа» отводится 272 часа: в 10 классе – 136 часов (4 часа в неделю), в 11
классе – 136 часов (4 часа в неделю).
6
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
10 КЛАСС
Числа и вычисления
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби. Применение дробей и процентов для
решения прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни.
Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа.
Арифметические операции с действительными числами. Модуль
действительного числа и его свойства. Приближённые вычисления, правила
округления, прикидка и оценка результата вычислений.
Степень с целым показателем. Бином Ньютона. Использование
подходящей формы записи действительных чисел для решения практических
задач и представления данных.
Арифметический корень натуральной степени и его свойства.
Степень с рациональным показателем и её свойства, степень с
действительным показателем.
Логарифм числа. Свойства логарифма. Десятичные и натуральные
логарифмы.
Синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента. Арксинус,
арккосинус и арктангенс числового аргумента.
Уравнения и неравенства
Тождества и тождественные преобразования. Уравнение, корень
уравнения. Равносильные уравнения и уравнения-следствия. Неравенство,
решение неравенства.
Основные методы решения целых и дробно-рациональных уравнений и
неравенств. Многочлены от одной переменной. Деление многочлена на
многочлен с остатком. Теорема Безу. Многочлены с целыми коэффициентами.
Теорема Виета.
Преобразования числовых выражений, содержащих степени и корни.
Иррациональные
уравнения.
Основные
методы
решения
иррациональных уравнений.
Показательные уравнения. Основные методы решения показательных
уравнений.
Преобразование выражений, содержащих логарифмы.
Логарифмические
уравнения.
Основные
методы
решения
логарифмических уравнений.
7
Основные
тригонометрические
формулы.
Преобразование
тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений.
Решение систем линейных уравнений. Матрица системы линейных
уравнений. Определитель матрицы 2×2, его геометрический смысл и свойства,
вычисление его значения, применение определителя для решения системы
линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью системы
линейных уравнений. Исследование построенной модели с помощью матриц
и определителей.
Построение математических моделей реальной ситуации с помощью
уравнений и неравенств. Применение уравнений и неравенств к решению
математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
Функции и графики
Функция, способы задания функции. Взаимно обратные функции.
Композиция функций. График функции. Элементарные преобразования
графиков функций.
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Чётные и нечётные функции. Периодические
функции. Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы
функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции. Элементарное
исследование и построение их графиков.
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени как функции обратной степени
с натуральным показателем.
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.
Использование графиков функций для решения уравнений.
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических
функций числового аргумента.
Функциональные зависимости в реальных процессах и явлениях.
Графики реальных зависимостей.
Начала математического анализа
Последовательности, способы задания последовательностей. Метод
математической индукции. Монотонные и ограниченные последовательности.
История возникновения математического анализа как анализа бесконечно
малых.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической
8
прогрессии. Линейный и экспоненциальный рост. Число е. Формула сложных
процентов. Использование прогрессии для решения реальных задач
прикладного характера.
Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва. Асимптоты
графиков функций. Свойства функций непрерывных на отрезке. Метод
интервалов для решения неравенств. Применение свойств непрерывных
функций для решения задач.
Первая и вторая производные функции. Определение, геометрический и
физический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
Производные
элементарных
функций.
Производная
суммы,
произведения, частного и композиции функций.
Множества и логика
Множество, операции над множествами и их свойства. Диаграммы
Эйлера–Венна. Применение теоретико-множественного аппарата для
описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других
учебных предметов.
Определение, теорема, свойство математического объекта, следствие,
доказательство, равносильные уравнения.
11 КЛАСС
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Применение признаков делимости целых
чисел, наибольший общий делитель (далее – НОД) и наименьшее общее
кратное (далее – НОК), остатков по модулю, алгоритма Евклида для решения
задач в целых числах.
Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы
записи комплексного числа. Арифметические операции с комплексными
числами. Изображение комплексных чисел на координатной плоскости.
Формула Муавра. Корни n-ой степени из комплексного числа. Применение
комплексных чисел для решения физических и геометрических задач.
Уравнения и неравенства
Система и совокупность уравнений и неравенств. Равносильные системы
и системы-следствия. Равносильные неравенства.
Отбор
корней
тригонометрических
уравнений
с
помощью
тригонометрической окружности. Решение тригонометрических неравенств.
Основные методы решения показательных и логарифмических
неравенств.
9
Основные методы решения иррациональных неравенств.
Основные методы решения систем и совокупностей рациональных,
иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
Уравнения, неравенства и системы с параметрами.
Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических
задач и задач из различных областей науки и реальной жизни, интерпретация
полученных результатов.
Функции и графики
График композиции функций. Геометрические образы уравнений и
неравенств на координатной плоскости.
Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Графические методы решения уравнений и неравенств. Графические
методы решения задач с параметрами.
Использование графиков функций для исследования процессов и
зависимостей, которые возникают при решении задач из других учебных
предметов и реальной жизни.
Начала математического анализа
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной
функции на отрезке.
Применение производной для нахождения наилучшего решения в
прикладных задачах, для определения скорости и ускорения процесса,
заданного формулой или графиком.
Первообразная, основное свойство первообразных. Первообразные
элементарных функций. Правила нахождения первообразных.
Интеграл. Геометрический смысл интеграла. Вычисление определённого
интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.
Применение интеграла для нахождения площадей плоских фигур и
объёмов геометрических тел.
Примеры решений дифференциальных уравнений. Математическое
моделирование реальных процессов с помощью дифференциальных
уравнений.
10
ПЛАНИРУЕМЫЕ
«АЛГЕБРА
И
(УГЛУБЛЕННЫЙ
ОБРАЗОВАНИЯ
РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА»
УРОВЕНЬ) НА УРОВНЕ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) гражданского воспитания:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного и
ответственного члена российского общества, представление о математических
основах функционирования различных структур, явлений, процедур
гражданского
общества
(выборы,
опросы
и
другое),
умение
взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их
функциями и назначением;
2) патриотического воспитания:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к
прошлому и настоящему российской математики, ценностное отношение к
достижениям российских математиков и российской математической школы,
использование этих достижений в других науках, технологиях, сферах
экономики;
3) духовно-нравственного воспитания:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность
нравственного сознания, этического поведения, связанного с практическим
применением достижений науки и деятельностью учёного, осознание личного
вклада в построение устойчивого будущего;
4) эстетического воспитания:
эстетическое отношение к миру, включая эстетику математических
закономерностей, объектов, задач, решений, рассуждений, восприимчивость к
математическим аспектам различных видов искусства;
5) физического воспитания:
сформированность умения применять математические знания в
интересах здорового и безопасного образа жизни, ответственное отношение к
своему здоровью (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и
отдыха, регулярная физическая активность), физическое совершенствование
при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью;
6) трудового воспитания:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к
различным сферам профессиональной деятельности, связанным с
11
математикой и её приложениями, умение совершать осознанный выбор
будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы,
готовность и способность к математическому образованию и
самообразованию на протяжении всей жизни, готовность к активному
участию в решении практических задач математической направленности;
7) экологического воспитания:
сформированность экологической культуры, понимание влияния
социально-экономических процессов на состояние природной и социальной
среды, осознание глобального характера экологических проблем, ориентация
на применение математических знаний для решения задач в области
окружающей среды, планирование поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды;
8) ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному
уровню развития науки и общественной практики, понимание математической
науки как сферы человеческой деятельности, этапов её развития и значимости
для развития цивилизации, овладение языком математики и математической
культурой как средством познания мира, готовность осуществлять проектную
и исследовательскую деятельность индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак классификации,
основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать,
формулировать
и
преобразовывать
суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия
в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для
выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений
(прямые и от противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и
контрпримеры, обосновывать собственные суждения и выводы;
12
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно
выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать
вопросы,
фиксирующие
противоречие,
проблему,
устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать
свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование
по установлению особенностей математического объекта, явления, процесса,
выявлению зависимостей между объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на
вопрос и для решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать,
систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм
представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах,
иллюстрировать графически;
оценивать
надёжность
информации
по
самостоятельно
сформулированным критериям.
Коммуникативные универсальные учебные действия
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и
целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных
и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи,
комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других участников
диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме
формулировать разногласия, свои возражения;
13
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования,
проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач
презентации и особенностей аудитории.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с
учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать
и корректировать варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания
совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов, владеть
способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения
математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, данных,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины
достижения или недостижения результатов деятельности, находить ошибку,
давать оценку приобретённому опыту.
Совместная деятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных задач, принимать цель совместной
деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять
виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы, обобщать
мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений,
«мозговые штурмы» и иные), выполнять свою часть работы и координировать
свои действия с другими членами команды, оценивать качество своего вклада
в общий продукт по критериям, сформулированным участниками
взаимодействия.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 10 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты по отдельным темам рабочей программы учебного
курса «Алгебра и начала математического анализа»:
Числа и вычисления:
14
свободно оперировать понятиями: рациональное число, бесконечная
периодическая дробь, проценты, иррациональное число, множества
рациональных и действительных чисел, модуль действительного числа;
применять дроби и проценты для решения прикладных задач из
различных отраслей знаний и реальной жизни;
применять приближённые вычисления, правила округления, прикидку и
оценку результата вычислений;
свободно оперировать понятием: степень с целым показателем,
использовать подходящую форму записи действительных чисел для решения
практических задач и представления данных;
свободно оперировать понятием: арифметический корень натуральной
степени;
свободно оперировать понятием: степень с рациональным показателем;
свободно оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и
натуральные логарифмы;
свободно оперировать понятиями: синус, косинус, тангенс, котангенс
числового аргумента;
оперировать понятиями: арксинус, арккосинус и арктангенс числового
аргумента.
Уравнения и неравенства:
свободно оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство,
равносильные уравнения и уравнения-следствия, равносильные неравенства;
применять различные методы решения рациональных и дробнорациональных уравнений, применять метод интервалов для решения
неравенств;
свободно оперировать понятиями: многочлен от одной переменной,
многочлен с целыми коэффициентами, корни многочлена, применять деление
многочлена на многочлен с остатком, теорему Безу и теорему Виета для
решения задач;
свободно оперировать понятиями: система линейных уравнений,
матрица, определитель матрицы 2 × 2 и его геометрический смысл,
использовать свойства определителя 2 × 2 для вычисления его значения,
применять определители для решения системы линейных уравнений,
моделировать реальные ситуации с помощью системы линейных уравнений,
исследовать построенные модели с помощью матриц и определителей,
интерпретировать полученный результат;
15
использовать свойства действий с корнями для преобразования
выражений;
выполнять преобразования числовых выражений, содержащих степени с
рациональным показателем;
использовать
свойства
логарифмов
для
преобразования
логарифмических выражений;
свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и
логарифмические уравнения, находить их решения с помощью равносильных
переходов или осуществляя проверку корней;
применять основные тригонометрические формулы для преобразования
тригонометрических выражений;
свободно оперировать понятием: тригонометрическое уравнение,
применять необходимые формулы для решения основных типов
тригонометрических уравнений;
моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры.
Функции и графики:
свободно оперировать понятиями: функция, способы задания функции,
взаимно обратные функции, композиция функций, график функции,
выполнять элементарные преобразования графиков функций;
свободно оперировать понятиями: область определения и множество
значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства;
свободно оперировать понятиями: чётные и нечётные функции,
периодические функции, промежутки монотонности функции, максимумы и
минимумы функции, наибольшее и наименьшее значение функции на
промежутке;
свободно оперировать понятиями: степенная функция с натуральным и
целым показателем, график степенной функции с натуральным и целым
показателем, график корня n-ой степени как функции обратной степени с
натуральным показателем;
оперировать понятиями: линейная, квадратичная и дробно-линейная
функции, выполнять элементарное исследование и построение их графиков;
свободно оперировать понятиями: показательная и логарифмическая
функции, их свойства и графики, использовать их графики для решения
уравнений;
16
свободно оперировать понятиями: тригонометрическая окружность,
определение тригонометрических функций числового аргумента;
использовать графики функций для исследования процессов и
зависимостей при решении задач из других учебных предметов и реальной
жизни, выражать формулами зависимости между величинами;
Начала математического анализа:
свободно оперировать понятиями: арифметическая и геометрическая
прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, линейный и
экспоненциальный рост, формула сложных процентов, иметь представление о
константе;
использовать прогрессии для решения реальных задач прикладного
характера;
свободно оперировать понятиями: последовательность, способы задания
последовательностей, монотонные и ограниченные последовательности,
понимать основы зарождения математического анализа как анализа
бесконечно малых;
свободно оперировать понятиями: непрерывные функции, точки разрыва
графика функции, асимптоты графика функции;
свободно оперировать понятием: функция, непрерывная на отрезке,
применять свойства непрерывных функций для решения задач;
свободно оперировать понятиями: первая и вторая производные
функции, касательная к графику функции;
вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции
двух функций, знать производные элементарных функций;
использовать геометрический и физический смысл производной для
решения задач.
Множества и логика:
свободно оперировать понятиями: множество, операции над
множествами;
использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов;
свободно оперировать понятиями: определение, теорема, уравнениеследствие, свойство математического объекта, доказательство, равносильные
уравнения и неравенства.
К концу обучения в 11 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты по отдельным темам рабочей программы учебного
курса «Алгебра и начала математического анализа»:
17
Числа и вычисления:
свободно оперировать понятиями: натуральное и целое число, множества
натуральных и целых чисел, использовать признаки делимости целых чисел,
НОД и НОК натуральных чисел для решения задач, применять алгоритм
Евклида;
свободно оперировать понятием остатка по модулю, записывать
натуральные числа в различных позиционных системах счисления;
свободно оперировать понятиями: комплексное число и множество
комплексных чисел, представлять комплексные числа в алгебраической и
тригонометрической форме, выполнять арифметические операции с ними и
изображать на координатной плоскости.
Уравнения и неравенства:
свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и
логарифмические неравенства, находить их решения с помощью
равносильных переходов;
осуществлять отбор корней при решении тригонометрического
уравнения;
свободно оперировать понятием тригонометрическое неравенство,
применять необходимые формулы для решения основных типов
тригонометрических неравенств;
свободно оперировать понятиями: система и совокупность уравнений и
неравенств, равносильные системы и системы-следствия, находить решения
системы и совокупностей рациональных, иррациональных, показательных и
логарифмических уравнений и неравенств;
решать
рациональные,
иррациональные,
показательные,
логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства,
содержащие модули и параметры;
применять графические методы для решения уравнений и неравенств, а
также задач с параметрами;
моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи,
исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры,
интерпретировать полученный результат.
Функции и графики:
строить графики композиции функций с помощью элементарного
исследования и свойств композиции двух функций;
18
строить геометрические образы уравнений и неравенств на координатной
плоскости;
свободно оперировать понятиями: графики тригонометрических
функций;
применять функции для моделирования и исследования реальных
процессов.
Начала математического анализа:
использовать производную для исследования функции на монотонность
и экстремумы;
находить наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной на
отрезке;
использовать производную для нахождения наилучшего решения в
прикладных, в том числе социально-экономических, задачах, для определения
скорости и ускорения процесса, заданного формулой или графиком;
свободно оперировать понятиями: первообразная, определённый
интеграл, находить первообразные элементарных функций и вычислять
интеграл по формуле Ньютона-Лейбница;
находить площади плоских фигур и объёмы тел с помощью интеграла;
иметь представление о математическом моделировании на примере
составления дифференциальных уравнений;
решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и
физического характера, средствами математического анализа.
19
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Наименование разделов и тем
программы
Всего
Контрольные
работы
1
Множество действительных чисел.
Многочлены. Рациональные уравнения и
неравенства. Системы линейных
уравнений
24
1
2
Функции и графики. Степенная функция с
целым показателем
12
1
3
Арифметический корень n-ой степени.
Иррациональные уравнения
15
1
4
Показательная функция. Показательные
уравнения
10
1
5
Логарифмическая функция.
Логарифмические уравнения
18
1
6
Тригонометрические выражения и
уравнения
22
1
7
Последовательности и прогрессии
10
1
8
Непрерывные функции. Производная
20
1
9
Повторение, обобщение, систематизация
знаний
5
2
136
10
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
Практические
работы
0
Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
20
11 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Наименование разделов и тем
программы
Всего
Контрольные
работы
1
Исследование функций с помощью
производной
22
1
2
Первообразная и интеграл
12
1
3
Графики тригонометрических функций.
Тригонометрические неравенства
14
1
4
Иррациональные, показательные и
логарифмические неравенства
24
1
5
Комплексные числа
10
1
6
Натуральные и целые числа
10
1
7
Системы рациональных, иррациональных
показательных и логарифмических
уравнений
12
1
8
Задачи с параметрами
16
1
9
Повторение, обобщение, систематизация
знаний
16
2
136
10
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
Практические
работы
0
Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
21
22
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Тема урока
Всего
1
Множество, операции над
множествами и их свойства
1
2
Диаграммы Эйлера-Венна
1
3
Применение теоретикомножественного аппарата для решения
задач
1
4
Рациональные числа. Обыкновенные и
десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
1
5
Рациональные числа. Обыкновенные и
десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
1
6
Применение дробей и процентов для
решения прикладных задач
1
7
Применение дробей и процентов для
решения прикладных задач
1
8
Действительные числа. Рациональные и
иррациональные числа
1
9
Арифметические операции с
действительными числами
1
Контрольные
работы
Практические
работы
Дата
изучения
Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы
23
10
Модуль действительного числа и его
свойства
1
11
Приближённые вычисления, правила
округления, прикидка и оценка
результата вычислений
1
12
Основные методы решения целых и
дробно-рациональных уравнений и
неравенств
1
13
Основные методы решения целых и
дробно-рациональных уравнений и
неравенств
1
14
Основные методы решения целых и
дробно-рациональных уравнений и
неравенств
1
15
Многочлены от одной переменной.
Деление многочлена на многочлен с
остатком. Теорема Безу
1
16
Многочлены с целыми
коэффициентами. Теорема Виета
1
17
Решение систем линейных уравнений
1
18
Решение систем линейных уравнений
1
19
Матрица системы линейных уравнений.
Определитель матрицы 2×2, его
геометрический смысл и свойства;
вычисление его значения
1
20
Определитель матрицы 2×2, его
геометрический смысл и свойства;
вычисление его значения
1
24
21
Применение определителя для решения
системы линейных уравнений
1
22
Решение прикладных задач с помощью
системы линейных уравнений
1
23
Решение прикладных задач с помощью
системы линейных уравнений
1
24
Контрольная работа: "Рациональные
уравнения и неравенства. Системы
линейных уравнений"
1
25
Функция, способы задания функции.
Взаимно обратные функции.
Композиция функций
1
26
График функции. Элементарные
преобразования графиков функций
1
27
Область определения и множество
значений функции. Нули функции.
Промежутки знак постоянства
1
28
Чётные и нечётные функции.
Периодические функции. Промежутки
монотонности функции
1
29
Максимумы и минимумы функции.
Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
1
30
Линейная, квадратичная и дробнолинейная функции
1
31
Элементарное исследование и
построение графиков этих функций
1
1
25
32
Элементарное исследование и
построение графиков этих функций
1
33
Степень с целым показателем. Бином
Ньютона
1
34
Степень с целым показателем. Бином
Ньютона
1
35
Степенная функция с натуральным и
целым показателем. Её свойства и
график
1
36
Контрольная работа: "Степенная
функция. Её свойства и график"
1
37
Арифметический корень натуральной
степени и его свойства
1
38
Арифметический корень натуральной
степени и его свойства
1
39
Преобразования числовых выражений,
содержащих степени и корни
1
40
Преобразования числовых выражений,
содержащих степени и корни
1
41
Преобразования числовых выражений,
содержащих степени и корни
1
42
Иррациональные уравнения. Основные
методы решения иррациональных
уравнений
1
43
Иррациональные уравнения. Основные
методы решения иррациональных
уравнений
1
1
26
44
Иррациональные уравнения. Основные
методы решения иррациональных
уравнений
1
45
Равносильные переходы в решении
иррациональных уравнений
1
46
Равносильные переходы в решении
иррациональных уравнений
1
47
Равносильные переходы в решении
иррациональных уравнений
1
48
Равносильные переходы в решении
иррациональных уравнений
1
49
Свойства и график корня n-ой степени
как функции обратной степени с
натуральным показателем
1
50
Свойства и график корня n-ой степени
как функции обратной степени с
натуральным показателем
1
51
Контрольная работа: "Свойства и
график корня n-ой степени.
Иррациональные уравнения"
1
52
Степень с рациональным показателем и
её свойства
1
53
Степень с рациональным показателем и
её свойства
1
54
Степень с рациональным показателем и
её свойства
1
55
Показательная функция, её свойства и
график
1
1
27
56
Использование графика функции для
решения уравнений
1
57
Использование графика функции для
решения уравнений
1
58
Показательные уравнения. Основные
методы решения показательных
уравнений
1
59
Показательные уравнения. Основные
методы решения показательных
уравнений
1
60
Показательные уравнения. Основные
методы решения показательных
уравнений
1
61
Контрольная работа: "Показательная
функция. Показательные уравнения"
1
62
Логарифм числа. Свойства логарифма
1
63
Логарифм числа. Свойства логарифма
1
64
Логарифм числа. Свойства логарифма
1
65
Десятичные и натуральные логарифмы
1
66
Десятичные и натуральные логарифмы
1
67
Преобразование выражений,
содержащих логарифмы
1
68
Преобразование выражений,
содержащих логарифмы
1
69
Преобразование выражений,
содержащих логарифмы
1
1
28
70
Логарифмическая функция, её свойства
и график
1
71
Логарифмическая функция, её свойства
и график
1
72
Использование графика функции для
решения уравнений
1
73
Использование графика функции для
решения уравнений
1
74
Логарифмические уравнения.
Основные методы решения
логарифмических уравнений
1
75
Логарифмические уравнения.
Основные методы решения
логарифмических уравнений
1
76
Логарифмические уравнения.
Основные методы решения
логарифмических уравнений
1
77
Равносильные переходы в решении
логарифмических уравнений
1
78
Равносильные переходы в решении
логарифмических уравнений
1
79
Контрольная работа:
"Логарифмическая функция.
Логарифмические уравнения"
1
80
Синус, косинус, тангенс и котангенс
числового аргумента
1
81
Синус, косинус, тангенс и котангенс
числового аргумента
1
1
29
82
Арксинус, арккосинус и арктангенс
числового аргумента
1
83
Арксинус, арккосинус и арктангенс
числового аргумента
1
84
Тригонометрическая окружность,
определение тригонометрических
функций числового аргумента
1
85
Тригонометрическая окружность,
определение тригонометрических
функций числового аргумента
1
86
Основные тригонометрические
формулы
1
87
Основные тригонометрические
формулы
1
88
Основные тригонометрические
формулы
1
89
Основные тригонометрические
формулы
1
90
Преобразование тригонометрических
выражений
1
91
Преобразование тригонометрических
выражений
1
92
Преобразование тригонометрических
выражений
1
93
Преобразование тригонометрических
выражений
1
94
Решение тригонометрических
уравнений
1
30
95
Решение тригонометрических
уравнений
1
96
Решение тригонометрических
уравнений
1
97
Решение тригонометрических
уравнений
1
98
Решение тригонометрических
уравнений
1
99
Решение тригонометрических
уравнений
1
100
Решение тригонометрических
уравнений
1
101
Контрольная работа:
"Тригонометрические выражения и
тригонометрические уравнения"
1
102
Последовательности, способы задания
последовательностей. Метод
математической индукции
1
103
Монотонные и ограниченные
последовательности. История анализа
бесконечно малых
1
104
Арифметическая прогрессия
1
105
Геометрическая прогрессия
1
106
Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия
1
107
Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
1
1
31
108
Линейный и экспоненциальный рост.
Число е. Формула сложных процентов
1
109
Линейный и экспоненциальный рост.
Число е. Формула сложных процентов
1
110
Использование прогрессии для
решения реальных задач прикладного
характера
1
111
Контрольная работа:
"Последовательности и прогрессии"
1
112
Непрерывные функции и их свойства
1
113
Точка разрыва. Асимптоты графиков
функций
1
114
Свойства функций непрерывных на
отрезке
1
115
Свойства функций непрерывных на
отрезке
1
116
Метод интервалов для решения
неравенств
1
117
Метод интервалов для решения
неравенств
1
118
Метод интервалов для решения
неравенств
1
119
Применение свойств непрерывных
функций для решения задач
1
120
Применение свойств непрерывных
функций для решения задач
1
121
Первая и вторая производные функции
1
1
32
122
Определение, геометрический смысл
производной
1
123
Определение, физический смысл
производной
1
124
Уравнение касательной к графику
функции
1
125
Уравнение касательной к графику
функции
1
126
Производные элементарных функций
1
127
Производные элементарных функций
1
128
Производная суммы, произведения,
частного и композиции функций
1
129
Производная суммы, произведения,
частного и композиции функций
1
130
Производная суммы, произведения,
частного и композиции функций
1
131
Контрольная работа: "Производная"
1
132
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Уравнения"
1
133
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Функции"
1
134
Итоговая контрольная работа
1
1
135
Итоговая контрольная работа
1
1
136
Повторение, обобщение,
систематизация знаний
1
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
136
1
10
0
33
11 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Тема урока
Всего
1
Применение производной к
исследованию функций на
монотонность и экстремумы
1
2
Применение производной к
исследованию функций на
монотонность и экстремумы
1
3
Применение производной к
исследованию функций на
монотонность и экстремумы
1
4
Применение производной к
исследованию функций на
монотонность и экстремумы
1
5
Применение производной к
исследованию функций на
монотонность и экстремумы
1
6
Применение производной к
исследованию функций на
монотонность и экстремумы
1
7
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения непрерывной
функции на отрезке
1
Контрольные
работы
Практические
работы
Дата
изучения
Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы
34
8
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения непрерывной
функции на отрезке
1
9
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения непрерывной
функции на отрезке
1
10
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения непрерывной
функции на отрезке
1
11
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения непрерывной
функции на отрезке
1
12
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения непрерывной
функции на отрезке
1
13
Применение производной для
нахождения наилучшего решения в
прикладных задачах
1
14
Применение производной для
нахождения наилучшего решения в
прикладных задачах
1
15
Применение производной для
определения скорости и ускорения
процесса, заданного формулой или
графиком
1
16
Применение производной для
определения скорости и ускорения
1
35
процесса, заданного формулой или
графиком
17
Композиция функций
1
18
Композиция функций
1
19
Композиция функций
1
20
Геометрические образы уравнений на
координатной плоскости
1
21
Геометрические образы уравнений на
координатной плоскости
1
22
Контрольная работа: "Исследование
функций с помощью производной"
1
23
Первообразная, основное свойство
первообразных
1
24
Первообразные элементарных
функций. Правила нахождения
первообразных
1
25
Первообразные элементарных
функций. Правила нахождения
первообразных
1
26
Интеграл. Геометрический смысл
интеграла
1
27
Вычисление определённого интеграла
по формуле Ньютона-Лейбница
1
28
Вычисление определённого интеграла
по формуле Ньютона-Лейбница
1
29
Применение интеграла для
нахождения площадей плоских фигур
1
1
36
30
Применение интеграла для
нахождения объёмов геометрических
тел
1
31
Примеры решений дифференциальных
уравнений
1
32
Примеры решений дифференциальных
уравнений
1
33
Математическое моделирование
реальных процессов с помощью
дифференциальных уравнений
1
34
Контрольная работа: "Первообразная и
интеграл"
1
35
Тригонометрические функции, их
свойства и графики
1
36
Тригонометрические функции, их
свойства и графики
1
37
Тригонометрические функции, их
свойства и графики
1
38
Тригонометрические функции, их
свойства и графики
1
39
Тригонометрические функции, их
свойства и графики
1
40
Отбор корней тригонометрических
уравнений с помощью
тригонометрической окружности
1
41
Отбор корней тригонометрических
уравнений с помощью
тригонометрической окружности
1
1
37
42
Отбор корней тригонометрических
уравнений с помощью
тригонометрической окружности
1
43
Отбор корней тригонометрических
уравнений с помощью
тригонометрической окружности
1
44
Решение тригонометрических
неравенств
1
45
Решение тригонометрических
неравенств
1
46
Решение тригонометрических
неравенств
1
47
Решение тригонометрических
неравенств
1
48
Контрольная работа: "Графики
тригонометрических функций.
Тригонометрические неравенства"
1
49
Основные методы решения
показательных неравенств
1
50
Основные методы решения
показательных неравенств
1
51
Основные методы решения
показательных неравенств
1
52
Основные методы решения
показательных неравенств
1
53
Основные методы решения
логарифмических неравенств
1
1
38
54
Основные методы решения
логарифмических неравенств
1
55
Основные методы решения
логарифмических неравенств
1
56
Основные методы решения
логарифмических неравенств
1
57
Основные методы решения
иррациональных неравенств
1
58
Основные методы решения
иррациональных неравенств
1
59
Основные методы решения
иррациональных неравенств
1
60
Основные методы решения
иррациональных неравенств
1
61
Графические методы решения
иррациональных уравнений
1
62
Графические методы решения
иррациональных уравнений
1
63
Графические методы решения
показательных уравнений
1
64
Графические методы решения
показательных неравенств
1
65
Графические методы решения
логарифмических уравнений
1
66
Графические методы решения
логарифмических неравенств
1
39
67
Графические методы решения
логарифмических неравенств
1
68
Графические методы решения
показательных и логарифмических
уравнений
1
69
Графические методы решения
показательных и логарифмических
уравнений
1
70
Графические методы решения
показательных и логарифмических
неравенств
1
71
Графические методы решения
показательных и логарифмических
неравенств
1
72
Контрольная работа:
"Иррациональные, показательные и
логарифмические неравенства"
1
73
Комплексные числа. Алгебраическая и
тригонометрическая формы записи
комплексного числа
1
74
Комплексные числа. Алгебраическая и
тригонометрическая формы записи
комплексного числа
1
75
Арифметические операции с
комплексными числами
1
76
Арифметические операции с
комплексными числами
1
1
40
77
Изображение комплексных чисел на
координатной плоскости
1
78
Изображение комплексных чисел на
координатной плоскости
1
79
Формула Муавра. Корни n-ой степени
из комплексного числа
1
80
Формула Муавра. Корни n-ой степени
из комплексного числа
1
81
Применение комплексных чисел для
решения физических и геометрических
задач
1
82
Контрольная работа: "Комплексные
числа"
1
83
Натуральные и целые числа
1
84
Натуральные и целые числа
1
85
Применение признаков делимости
целых чисел
1
86
Применение признаков делимости
целых чисел
1
87
Применение признаков делимости
целых чисел: НОД и НОК
1
88
Применение признаков делимости
целых чисел: НОД и НОК
1
89
Применение признаков делимости
целых чисел: остатки по модулю
1
90
Применение признаков делимости
целых чисел: остатки по модулю
1
1
41
91
Применение признаков делимости
целых чисел: алгоритм Евклида для
решения задач в целых числах
1
92
Контрольная работа: "Теория целых
чисел"
1
93
Система и совокупность уравнений.
Равносильные системы и системыследствия
1
94
Система и совокупность уравнений.
Равносильные системы и системыследствия
1
95
Основные методы решения систем и
совокупностей рациональных
уравнений
1
96
Основные методы решения систем и
совокупностей иррациональных
уравнений
1
97
Основные методы решения систем и
совокупностей показательных
уравнений
1
98
Основные методы решения систем и
совокупностей показательных
уравнений
1
99
Основные методы решения систем и
совокупностей логарифмических
уравнений
1
1
42
100
Основные методы решения систем и
совокупностей логарифмических
уравнений
1
101
Применение систем к решению
математических задач и задач из
различных областей науки и реальной
жизни, интерпретация полученных
результатов
1
102
Применение систем к решению
математических задач и задач из
различных областей науки и реальной
жизни, интерпретация полученных
результатов
1
103
Применение неравенств к решению
математических задач и задач из
различных областей науки и реальной
жизни, интерпретация полученных
результатов
1
104
Контрольная работа: "Системы
рациональных, иррациональных
показательных и логарифмических
уравнений"
1
105
Рациональные уравнения с
параметрами
1
106
Рациональные неравенства с
параметрами
1
107
Рациональные системы с параметрами
1
1
43
108
Иррациональные уравнения,
неравенства с параметрами
1
109
Иррациональные системы с
параметрами
1
110
Показательные уравнения, неравенства
с параметрами
1
111
Показательные системы с параметрами
1
112
Логарифмические уравнения,
неравенства с параметрами
1
113
Логарифмические системы с
параметрами
1
114
Тригонометрические уравнения с
параметрами
1
115
Тригонометрические неравенства с
параметрами
1
116
Тригонометрические системы с
параметрами
1
117
Построение и исследование
математических моделей реальных
ситуаций с помощью уравнений с
параметрами
1
118
Построение и исследование
математических моделей реальных
ситуаций с помощью систем
уравнений с параметрами
1
119
Построение и исследование
математических моделей реальных
1
44
ситуаций с помощью систем
уравнений с параметрами
120
Контрольная работа: "Задачи с
параметрами"
1
121
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Уравнения"
1
122
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Уравнения"
1
123
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Уравнения.
Системы уравнений"
1
124
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Неравенства"
1
125
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Неравенства"
1
126
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Неравенства"
1
127
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Производная
и её применение"
1
128
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Производная
и её применение"
1
129
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Производная
и её применение"
1
1
45
130
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Интеграл и
его применение"
1
131
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Функции"
1
132
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Функции"
1
133
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Функции"
1
134
Итоговая контрольная работа
1
1
135
Итоговая контрольная работа
1
1
136
Повторение, обобщение,
систематизация знаний
1
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
136
10
0
46
47
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
10 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
1
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Числа и вычисления
1.1
Оперировать понятиями: рациональное и действительное число,
обыкновенная и десятичная дробь, проценты
1.2
Выполнять арифметические
действительными числами
1.3
Выполнять приближённые вычисления, используя правила
округления, делать прикидку и оценку результата вычислений
1.4
Оперировать понятиями: степень с целым показателем, стандартная
форма записи действительного числа, корень натуральной степени;
использовать подходящую форму записи действительных чисел для
решения практических задач и представления данных
1.5
Оперировать понятиями: синус, косинус и тангенс произвольного
угла; использовать запись произвольного угла через обратные
тригонометрические функции
2
операции
с
рациональными
и
Уравнения и неравенства
2.1
Оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство, целое,
рациональное,
иррациональное
уравнение,
неравенство,
тригонометрическое уравнение
2.2
Выполнять преобразования тригонометрических выражений и
решать тригонометрические уравнения
2.3
Выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных
выражений и решать основные типы целых, рациональных и
иррациональных уравнений и неравенств
2.4
Применять уравнения и неравенства для решения математических
задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
2.5
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры
3
Функции и графики
48
3.1
Оперировать понятиями: функция, способы задания функции,
область определения и множество значений функции, график
функции, взаимно обратные функции
3.2
Оперировать понятиями: чётность и нечётность функции, нули
функции, промежутки знакопостоянства
3.3
Использовать графики функций для решения уравнений
3.4
Строить и читать графики линейной функции, квадратичной
функции, степенной функции с целым показателем
3.5
Использовать графики функций для исследования процессов и
зависимостей при решении задач из других учебных предметов и
реальной жизни, выражать формулами зависимости между
величинами
4
Начала математического анализа
4.1
Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и
геометрическая прогрессии
4.2
Оперировать понятиями: бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия, сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии
4.3
Задавать последовательности различными способами
4.4
Использовать свойства последовательностей и прогрессий для
решения реальных задач прикладного характера
5
Множества и логика
5.1
Оперировать понятиями: множество, операции над множествами
5.2
Использовать теоретико-множественный аппарат для описания
реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных
предметов
5.3
Оперировать понятиями:
доказательство
определение,
теорема,
следствие,
11 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
1
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Числа и вычисления
1.1
Оперировать понятиями: натуральное, целое число; использовать
признаки делимости целых чисел, разложение числа на простые
множители для решения задач
1.2
Оперировать понятием: степень с рациональным показателем
49
1.3
2
Оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и натуральные
логарифмы
Уравнения и неравенства
2.1
Применять свойства степени для преобразования выражений,
оперировать понятиями: показательное уравнение и неравенство;
решать основные типы показательных уравнений и неравенств
2.2
Выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы;
оперировать понятиями: логарифмическое уравнение и неравенство;
решать основные типы логарифмических уравнений и неравенств
2.3
Находить решения простейших тригонометрических неравенств
2.4
Оперировать понятиями: система линейных уравнений и её решение;
использовать систему линейных уравнений для решения
практических задач
2.5
Находить решения простейших систем
рациональных уравнений и неравенств
2.6
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства и системы по условию задачи,
исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
3
и
совокупностей
Функции и графики
3.1
Оперировать понятиями: периодическая функция, промежутки
монотонности функции, точки экстремума функции, наибольшее и
наименьшее значения функции на промежутке; использовать их для
исследования функции, заданной графиком
3.2
Оперировать понятиями: графики показательной, логарифмической и
тригонометрических функций; изображать их на координатной
плоскости и использовать для решения уравнений и неравенств
3.3
Изображать на координатной плоскости графики линейных
уравнений и использовать их для решения системы линейных
уравнений
3.4
Использовать графики функций для исследования процессов и
зависимостей из других учебных дисциплин
4
Начала математического анализа
4.1
Оперировать понятиями: непрерывная функция, производная
функции; использовать геометрический и физический смысл
производной для решения задач
4.2
Находить производные элементарных функций,
производные суммы, произведения, частного функций
4.3
Использовать производную для исследования функции на
монотонность и экстремумы, применять результаты исследования к
построению графиков
вычислять
50
4.4
Использовать производную для нахождения наилучшего решения в
прикладных, в том числе социально-экономических, задачах
4.5
Оперировать понятиями: первообразная и интеграл; понимать
геометрический и физический смысл интеграла
4.6
Находить первообразные элементарных
интеграл по формуле Ньютона – Лейбница
4.7
Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и
физического характера, средствами математического анализа
функций,
вычислять
51
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
10 КЛАСС
Код
1
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
1.1
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные
периодические
дроби.
Арифметические
операции
с
рациональными числами, преобразования числовых выражений. Применение
дробей и процентов для решения прикладных задач из различных отраслей
знаний и реальной жизни
1.2
Действительные
числа.
Рациональные
и
иррациональные
числа.
Арифметические операции с действительными числами. Приближённые
вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений
1.3
Степень с целым показателем. Стандартная форма записи действительного
числа. Использование подходящей формы записи действительных чисел для
решения практических задач и представления данных
1.4
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени
1.5
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
2
Уравнения и неравенства
2.1
Тождества и тождественные преобразования
2.2
Преобразование
тригонометрических
тригонометрические формулы
2.3
Уравнение, корень уравнения. Неравенство, решение неравенства. Метод
интервалов
2.4
Решение целых и дробно-рациональных уравнений и неравенств
2.5
Решение иррациональных уравнений и неравенств
2.6
Решение тригонометрических уравнений
2.7
Применение уравнений и неравенств к решению математических задач и задач
из различных областей науки и реальной жизни
3
выражений.
Основные
Функции и графики
3.1
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции
3.2
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Чётные и нечётные функции
52
3.3
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и график.
Свойства и график корня n-ой степени
3.4
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций
числового аргумента
4
Начала математического анализа
4.1
Последовательности, способы задания последовательностей. Монотонные
последовательности
4.2
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии. Формула сложных процентов. Использование прогрессии для
решения реальных задач прикладного характера
5
Множества и логика
5.1
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна.
Применение теоретико-множественного аппарата для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов
5.2
Определение, теорема, следствие, доказательство
11 КЛАСС
Код
1
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
1.1
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
1.2
Степень с рациональным показателем. Свойства степени
1.3
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
2
Уравнения и неравенства
2.1
Преобразование выражений, содержащих логарифмы
2.2
Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным
показателем
2.3
Примеры тригонометрических неравенств
2.4
Показательные уравнения и неравенства
2.5
Логарифмические уравнения и неравенства
2.6
Системы линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью
системы линейных уравнений
2.7
Системы и совокупности рациональных уравнений и неравенств
2.8
Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических
задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
3
Функции и графики
53
3.1
Функция. Периодические функции. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
3.2
Тригонометрические функции, их свойства и графики
3.3
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
3.4
Использование графиков функций для решения уравнений и линейных систем
3.5
Использование графиков функций для исследования процессов и
зависимостей, которые возникают при решении задач из других учебных
предметов и реальной жизни
4
Начала математического анализа
4.1
Непрерывные функции. Метод интервалов для решения неравенств
4.2
Производная функции. Геометрический и физический смысл производной
4.3
Производные элементарных функций. Формулы нахождения производной
суммы, произведения и частного функций
4.4
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке
4.5
Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных
задачах, для определения скорости процесса, заданного формулой или
графиком
4.6
Первообразная. Таблица первообразных
4.7
Интеграл, его геометрический и физический смысл. Вычисление интеграла по
формуле Ньютона – Лейбница
54
ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К
РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Код
проверяемого
требования
Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
1
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач;
умение формулировать и оперировать понятиями: определение,
аксиома, теорема, следствие, свойство, признак, доказательство,
равносильные формулировки; применять их; умение формулировать
обратное и противоположное утверждение, приводить примеры и
контрпримеры, использовать метод математической индукции;
проводить доказательные рассуждения при решении задач,
оценивать логическую правильность рассуждений; умение
оперировать понятиями: множество, подмножество, операции над
множествами; умение использовать теоретико-множественный
аппарат для описания реальных процессов и явлений и при решении
задач, в том числе из других учебных предметов; умение
оперировать понятиями: граф, связный граф, дерево, цикл, граф на
плоскости; умение задавать и описывать графы различными
способами; использовать графы при решении задач
2
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число,
степень с целым показателем, корень натуральной степени, степень
с рациональным показателем, степень с действительным
показателем, логарифм числа, синус, косинус и тангенс
произвольного числа, остаток по модулю, рациональное число,
иррациональное
число,
множества
натуральных,
целых,
рациональных, действительных чисел; умение использовать
признаки делимости, наименьший общий делитель и наименьшее
общее кратное, алгоритм Евклида при решении задач; знакомство с
различными позиционными системами счисления; умение
выполнять вычисление значений и преобразования выражений со
степенями и логарифмами, преобразования дробно-рациональных
выражений; умение оперировать понятиями: последовательность,
арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия;
умение задавать
последовательности, в том числе с помощью рекуррентных формул;
умение оперировать понятиями: комплексное число, сопряжённые
комплексные числа, модуль и аргумент комплексного числа, форма
записи комплексных чисел (геометрическая, тригонометрическая и
алгебраическая); уметь производить арифметические действия с
55
комплексными числами; приводить примеры использования
комплексных чисел; оперировать понятиями: матрица 2×2 и 3×3,
определитель матрицы, геометрический смысл определителя
3
Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные,
показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические
уравнения и неравенства, их системы; умение оперировать
понятиями: тождество, тождественное преобразование, уравнение,
неравенство, система уравнений и неравенств, равносильность
уравнений, неравенств и систем; умение решать уравнения,
неравенства и системы с помощью различных приёмов; решать
уравнения, неравенства и системы с параметром; применять
уравнения, неравенства, их системы для решения математических
задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
4
Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции,
периодичность функции, ограниченность функции, монотонность
функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения
функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика
функции, первая и вторая производная функции, геометрический и
физический смысл производной, первообразная, определённый
интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение
вычислять производные суммы, произведения, частного и
композиции функций, находить уравнение касательной к графику
функции; умение находить производные элементарных функций;
умение использовать производную для исследования функций,
находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить
графики многочленов с использованием аппарата математического
анализа; применять производную для нахождения наилучшего
решения в прикладных, в том числе социально-экономических и
физических задачах; находить площади и объёмы фигур с помощью
интеграла; приводить примеры математического моделирования с
помощью дифференциальных уравнений
5
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная
функция, композиция функций, линейная функция, квадратичная
функция,
рациональная
функция,
степенная
функция,
тригонометрические функции, обратные тригонометрические
функции, показательная и логарифмическая функции; умение
строить графики изученных функций, выполнять преобразования
графиков функций, использовать графики для изучения процессов и
зависимостей, при решении задач из других учебных предметов и
задач из реальной жизни; выражать формулами зависимости между
величинами; использовать свойства и графики функций для решения
уравнений, неравенств и задач с параметрами; изображать на
56
координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств
и их систем
6
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на
проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и
услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными
финансами); составлять выражения, уравнения, неравенства и их
системы по условию задачи, исследовать полученное решение и
оценивать правдоподобность результатов; умение моделировать
реальные ситуации на языке математики; составлять выражения,
уравнения, неравенства и их системы по условию задачи,
исследовать построенные модели с использованием аппарата
алгебры, интерпретировать полученный результат
7
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное
отклонение числового набора; умение извлекать, интерпретировать
информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках,
отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять
информацию с помощью таблиц и диаграмм; исследовать
статистические данные, в том числе с применением графических
методов и электронных средств; графически исследовать совместные
наблюдения с помощью диаграмм рассеивания и линейной
регрессии
8
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное
событие, вероятность случайного события; умение вычислять
вероятность с использованием графических методов; применять
формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной
вероятности, формулу Бернулли, комбинаторные факты и формулы;
оценивать вероятности реальных событий; умение оперировать
понятиями: случайная величина, распределение вероятностей,
математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
случайной величины, функции распределения и плотности
равномерного, показательного и нормального распределений;
умение использовать свойства изученных распределений для
решения задач; знакомство с понятиями: закон больших чисел,
методы выборочных исследований; умение приводить примеры
проявления закона больших чисел в природных и общественных
явлениях; умение оперировать понятиями: сочетание, перестановка,
число сочетаний, число перестановок; бином Ньютона; умение
применять комбинаторные факты и рассуждения для решения задач;
оценивать
вероятности
реальных
событий;
составлять
вероятностную модель и интерпретировать полученный результат
9
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость,
пространство, отрезок, луч, величина угла, плоский угол,
57
двугранный угол, трёхгранный угол, скрещивающиеся прямые,
параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, угол
между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между
плоскостями, расстояние от точки до плоскости, расстояние между
прямыми, расстояние между плоскостями; умение использовать при
решении задач изученные факты и теоремы планиметрии; умение
оценивать размеры объектов окружающего мира; строить
математические модели с помощью геометрических понятий и
величин, решать связанные с ними практические задачи
10
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объём фигуры,
многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника,
куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность
вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь
поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объём куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
конуса, шара, развёртка поверхности, сечения конуса и цилиндра,
параллельные оси или основанию, сечение шара, плоскость,
касающаяся сферы, цилиндра, конуса; умение строить сечение
многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности
вращения, их сечения, в том числе с помощью электронных средств;
умение применять свойства геометрических фигур, самостоятельно
формулировать определения изучаемых фигур, выдвигать гипотезы
о свойствах и признаках геометрических фигур, обосновывать или
опровергать их; умение проводить классификацию фигур по
различным признакам, выполнять необходимые дополнительные
построения
11
Умение оперировать понятиями: движение в пространстве,
параллельный перенос, симметрия на плоскости и в пространстве,
поворот, преобразование подобия, подобные фигуры; умение
распознавать равные и подобные фигуры, в том числе в природе,
искусстве, архитектуре; использовать геометрические отношения
при решении задач; находить геометрические величины (длина, угол,
площадь, объём) при решении задач из других учебных предметов и
из реальной жизни; умение вычислять геометрические величины
(длина, угол, площадь, объём, площадь поверхности), используя
изученные формулы и методы, в том числе: площадь поверхности
пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, площадь сферы; объём куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
конуса, шара; умение находить отношение объёмов подобных фигур
12
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат,
вектор, координаты точки, координаты вектора, сумма векторов,
произведение вектора на число, разложение вектора по базису,
скалярное произведение, векторное произведение, угол между
58
векторами; умение использовать векторный и координатный метод
для решения геометрических задач и задач других учебных
предметов
13
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи;
понимание значимости математики в изучении природных и
общественных процессов и явлений; умение распознавать
проявление законов математики в искусстве, умение приводить
примеры математических открытий российской и мировой
математической науки
59
ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ЕГЭ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Код
1
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
1.1
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
1.2
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
1.3
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени
1.4
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем.
Свойства степени
1.5
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
1.6
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
1.7
Действительные числа. Арифметические операции с действительными
числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и
оценка результата вычислений
1.8
Преобразование выражений
1.9
Комплексные числа
2
Уравнения и неравенства
2.1
Целые и дробно-рациональные уравнения
2.2
Иррациональные уравнения
2.3
Тригонометрические уравнения
2.4
Показательные и логарифмические уравнения
2.5
Целые и дробно-рациональные неравенства
2.6
Иррациональные неравенства
2.7
Показательные и логарифмические неравенства
2.8
Тригонометрические неравенства
2.9
Системы и совокупности уравнений и неравенств
2.10
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
2.11
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
3
Функции и графики
3.1
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции
3.2
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
60
3.3
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени
3.4
Тригонометрические функции, их свойства и графики
3.5
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
3.6
Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций,
непрерывных на отрезке
3.7
Последовательности, способы задания последовательностей
3.8
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
4
Начала математического анализа
4.1
Производная функции. Производные элементарных функций
4.2
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке
4.3
Первообразная. Интеграл
5
Множества и логика
5.1
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна
5.2
Логика
6
Вероятность и статистика
6.1
Описательная статистика
6.2
Вероятность
6.3
Комбинаторика
7
Геометрия
7.1
Фигуры на плоскости
7.2
Прямые и плоскости в пространстве
7.3
Многогранники
7.4
Тела и поверхности вращения
7.5
Координаты и векторы
61
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
• Математика. Алгебра и начала математического анализа; 10 класс.
углубленное обучение Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М.;
под редакцией Подольского В.Е. Общество с ограниченной
ответственностью Издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ»;
Акционерное общество «Издательство «Просвещение»
• Математика. Алгебра и начала математического анализа; 11 класс.
углубленное обучение Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М.;
под редакцией Подольского В.Е. Общество с ограниченной
ответственностью Издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ»;
Акционерное общество «Издательство «Просвещение»
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
методическое пособие Мерзляк А.Г.
ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ СЕТИ
ИНТЕРНЕТ
